高等代数相关学习

初等变换的规则：
"倍乘"：一个非零常数乘矩阵的某一行（列）。
"互换"：互换矩阵中某两行（列）的位置。
"倍加"：将矩阵的某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）。
注意：
某矩阵乘元素 $k$ ，是矩阵中的每个元素都乘 $k$ ，要与行列式区分。也就是 $|kA|=k^{n}|A|$ 。

3. 解线性方程组时，仅能使用初等行变换

因为矩阵的每一种初等行变换都对应着线性方程组的同解变换，而作列变换会改变原来的方程。

解线性方程组

4. 判定解的情况，单纯求 $r(A),\,r(A,b)$ 的过程行列变换都可

注：将 $r(A,b)$ 化行阶梯求秩时，往往我们需要同时得到 $r(A)$ ，如果想用列变换的话，只能对 $A$ 单独列变换，千万不要将 $b$ 列和 $A$ 的列混合运算，这样 $r(A)$ 就不准了（但 $r(A,b)$ 是准的）。

判定解的情况

但是，如果涉及到求通解或唯一解，那么就只能做行变换化行阶梯了，所以建议一开始就只做行变换。

总结：求解的过程，就只进行初等行变换化行阶梯求秩，并且顺势化为行最简型求解。

5. 求向量组极大无关组、线性表出关系，则仅行变换

因为初等行变换不改变列向量组的线性表出关系。例如下图， $\beta$ 矩阵中 $\beta_{3}=\beta_{2}+\beta_{1}$ ， $\alpha$ 矩阵同样有这样的关系。

极大无关组

6. 求向量组的秩时，行列变换都可

求向量组的秩，其实最后会转化为求矩阵的秩，原理就是**"矩阵的秩＝行向量组的秩＝列向量组的秩"**，所以求向量组的秩也是行列变换都可。

向量组的秩

但是一般求向量组的秩后面会继续求解极大无关组/线性表出关系，这时只能做行变换，所以还是建议从开头就只使用行变换。

7. 求特征值时，行列变换都可

因为特征多项式本质上是行列式，求行列式时，行列都可以换。

求特征值

8. 求特征向量时，仅做行变换

因为求特征向量时，本质是在解线性方程组，只能进行初等行变换。

求特征向量

9. 求逆矩阵时，对 $(A,E)$ 仅做初等行变换

因为以 $A^{-1}$ 左乘 $A$ 得到 $E$ ，以 $A^{-1}$ 左乘 $E$ 得到 $A^{-1}$ ，以 $A^{-1}$ 左乘的过程就是做初等行变换的过程。

求逆矩阵（一）

所以怎么体现 $A$ 和 $E$ 做了完全一样的 $A^{-1}$ 所带来的初等行变换，就是将 $A$ 、 $E$ 横着拼在一起，此时做的初等行变换就是同步的了。

求逆矩阵（二）

总结

除了① 求行列式的值（求特征值本质上就是求行列式的值）和 ② 单纯求秩，行列变换都可，其余情况通通只做行变换。

二. 要牢记

先写那么多，后面有再补充：

要牢记

一些推导：

推导（一）

对于 $AB\neq BA$ 的补充：

AB≠BA（一）

AB≠BA（二）

1. 矩阵的逆

矩阵的逆

推导如下：

矩阵的逆推导

初等矩阵的逆：

初等矩阵的逆

2. 矩阵的伴随

矩阵的伴随

三. 某某子式

1. 余子式

在 $n$ 阶行列式中，去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的 $n-1$ 阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$ 。

2. 代数余子式

余子式 $M_{ij}$ 乘 $(-1)^{i+j}$ 后称为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记作 $A_{ij}$ 。

代数余子式

3. $k$ 阶子式

给定一个矩阵，任取 $k$ 行、任取 $k$ 列，共 $k^{2}$ 个数构成的行列式，出现在矩阵的秩中，定义如下：

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，若 $A$ 存在 $k$ 阶子式不为零，而任意 $k+1$ 阶子式（如果有的话）全为零，则 $r(A)=k$ 。且若 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，则

k阶子式

4. $k$ 阶主子式

指在行列式中选 $k$ 行 $k$ 列，但要求行和列的下标相同。如：行为 $r_1,r_2,r_3$ ，列必须为 $c_1,c_2,c_3$ ；行为 $r_2,r_3,r_5$ ，列必须为 $c_2,c_3,c_5$ 。因此， $k$ 阶主子式不唯一。这在矩阵相似会用到，下面会讲。

5. 顺序主子式

顺序主子式是在主子式上再加限定，顺序主子式是由 $1\sim k$ 行和 $1\sim k$ 列所确定的子式。

例如：
1 阶时：取第 1 行，第 1 列
2 阶时：取第 1、2 行，第 1、2 列
3 阶时：取第 1、2、3 行，第 1、2、3 列
4 阶时：取第 1、2、3、4 行，第 1、2、3、4 列
实际上，主子式的主对角线元素是原 $n$ 阶行列式的主对角线元素的一部分，且顺序相同。

所以 $k$ 阶主子式是不唯一的，而 $k$ 阶顺序主子式是唯一的。用在判断二次型正定上，下面会讲。

四. 矩阵的秩

① $0\leq r(A)\leq\min\{m,n\}$

② $r(kA)=r(A)\ (k\neq 0)$

③ $r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}$

④ $r(A+B)\leq r(A)+r(B)$

⑤ Sylvester 秩不等式： $r(AB)\geq r(A)+r(B)-n$ 。

矩阵的秩（五）

$r(A)=n-1$ 时 $r(A^{*})=1$ 的证明：

r(A*)=1的证明

进而可得出一个重要结论：

若 $A_{m\times n}B_{n\times s}=O$ ，则 $r(A)+r(B)\leq n$ 。

所以，看到 $AB=O$ 就要想到两个结论：

看到AB=O

⑥ 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵， $P,Q$ 分别是 $m$ 阶、 $n$ 阶可逆矩阵，则

$r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$

⑦ $r(A)=r(A^{T})=r(AA^{T})=r(A^{T}A)$ 。

关于⑤的例题：

秩的例题

为什么 $Ax=b$ 有 $n-r+1$ 个线性无关的解：

为什么有n-r+1个线性无关解

五. 常用特征值与特征向量

常用特征值与特征向量

注意这样一道例题：

特征值例题（一）

特征值例题（二）

特征值例题（三）

特征值例题（四）

关于特征值的一些提示：

特征值提示

六. 矩阵，向量组，方程组

矩阵与向量组

① 向量组是由有限个相同维数的行向量或者列向量组成，其中向量是由 $n$ 个实数组成的有序数组，是一个 $n\times 1$ 的矩阵（ $n$ 维列向量）或是一个 $1\times n$ 的矩阵（ $n$ 维行向量）。
② 矩阵是由 $m\times n$ 个数排列成 $m$ 行 $n$ 列的数表。
一个向量组可以看作是一个矩阵的列（或行）向量集合。如果一个矩阵有 $n$ 列，那么这 $n$ 列就可以看作是一个由 $n$ 个向量组成的向量组。反过来，一个矩阵也可以看作是由其列（或行）向量组成的向量组。

1. 怎么判断两个矩阵等价

矩阵等价的前提： $A$ 与 $B$ 是同型矩阵，即 $A,B$ 行数、列数相同。
矩阵等价的充要条件：
① $r(A)=r(B)$ ② 存在可逆矩阵 $P,Q$ ，使得 $PAQ=B$

2. 怎么判断两个向量组是等价向量组

向量组等价的前提： $A,B$ 矩阵同维。
若 $r(\mathrm{I})=r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\cdots)$ ， $r(\mathrm{II})=r(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\cdots)$ ，则向量组等价的充要条件：
① $r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})$ ，且 $(\mathrm{I})$ 可由 $(\mathrm{II})$ 线性表出（单向表出即可） ② $r(\mathrm{II})=r(\mathrm{I})$ ，且 $(\mathrm{II})$ 可由 $(\mathrm{I})$ 线性表出（单向表出即可） ③ $r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots)=r(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\cdots)=r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\beta_1,\beta_2,\beta_3,\cdots)$ ，即 $r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})=r(\mathrm{I},\mathrm{II})$ ④ $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$ 能够相互线性表示。

总结：
① 两个矩阵 $A$ 与 $B$ 等价指的是 $A$ 可以通过有限次初等变换变成 $B$ 。两个不同型矩阵是不可能等价的。 ② 两个向量组等价指的是它们能够互相线性表示，它们各自所含向量的个数可能是不一样的。

例题：

等价向量组例题

D. 即使 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$ 同为 $n$ 维向量组，但 $s$ 与 $t$ 的关系未知，也就是行数相等、列数未知，所以 $A,B$ 两个矩阵可能不同型，不能等价。
B. $(\mathrm{I})$ 可由 $(\mathrm{II})$ 表示，缺少其他条件；如果加上 $(\mathrm{II})$ 可由 $(\mathrm{I})$ 线性表出，或者 $r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})$ 就对了。
C 正确。
D. $r(A)=r(B)$ ，只能推出两个向量组秩相同，缺少其他条件；如果加上 $(\mathrm{II})$ 可由 $(\mathrm{I})$ 线性表出，或 $(\mathrm{I})$ 可由 $(\mathrm{II})$ 线性表出，或 $r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})=r(\mathrm{I},\mathrm{II})$ ，就对了。

3. 矩阵和向量等价的比较

矩阵与向量组等价的比较

例题：

矩阵与向量组等价例题

A. $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,0)$ 能与 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 相互线性表示，但 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,0)$ 不是 $Ax=0$ 的基础解系。
B. 基础解系一定是线性无关的，但 B 选项 3 个向量是线性相关的（ $3$ 个向量相加 $=0$ ）。
C. 像上面举的例子一样， $\alpha_1,\alpha_2$ 与 $\beta_1,\beta_2$ 等秩，但是 $\alpha_1,\alpha_2$ 与 $\beta_1,\beta_2$ 不能相互线性表示。
D.
在 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 的右边乘可逆矩阵，不改变原来矩阵的秩，且 $(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ 与 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 能相互线性表示。
所以，求 $Ax=0$ 的另一个基础解系，需要满足其等价且等秩。

4. 同解方程组

若两个方程组 $A_{m\times n}x=0$ 与 $B_{s\times n}x=0$ 有完全相同的解，则称它们为同解方程组。

充要条件：
① $Ax=0$ 的解满足 $Bx=0$ ，且 $Bx=0$ 的解满足 $Ax=0$ （互相把解代入求出结果即可） ② $r(A)=r(B)$ ，且 $Ax=0$ 的解满足 $Bx=0$ （或 $Bx=0$ 的解满足 $Ax=0$ ） ③ $r(A)=r(B)=r([A;B])$ （三秩相同）

例1：

同解方程组例1

例2：

同解方程组例2

例3：

同解方程组例3

七. 齐次线性方程组和非齐次线性方程组

齐次线性方程组有解的条件：
① $r(A)=n$ 时，方程组有唯一零解。 ② $r(A)=r<n$ 时，方程组有非零解（无穷多解），且有 $n-r$ 个线性无关解。
齐次方程组其实就是解和系数的正交，例如，给你一个条件： $\alpha_1=2\alpha_2+\alpha_3\ \Longrightarrow\ \alpha_1-2\alpha_2-\alpha_3+0\cdot\alpha_4=0$
则 $(1,-2,-1,0)$ 就是齐次方程组的基础解系。

非齐次线性方程组有解的条件：
① 若 $r(A)\neq r([A,b])$ ，则方程组无解； ② 若 $r(A)=r([A,b])=n$ ，则方程组有唯一解； ③ 若 $r(A)=r([A,b])=r<n$ ，则方程组有无穷多解。

非齐次方程组的通解的求法：
① 求 $Ax=0$ 的解； ② 求 $Ax=b$ 的一个特解； ③ 非齐次方程组的通解＝齐次方程组的通解＋一个非齐次的特解。

非齐次方程组通解

如果 $A$ 行满秩，则 $r(A)=r(A|b)$ ，那么方程组一定有解。
如果 $A$ 列满秩，则 $r(A)$ 与 $r(A|b)$ 的关系不确定：
① $r(A)<r(A|b)$ ，则无解； ② $r(A)=r(A|b)<n$ ，有无穷多解； ③ $r(A)=r(A|b)=n$ ，有唯一解。

非齐次方程组解的性质：

若 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解， $\xi$ 是对应齐次方程组 $Ax=0$ 的解，则：
（1） $\eta_1-\eta_2$ 是 $Ax=0$ 的解；（2） $k\xi+\eta$ 是 $Ax=b$ 的解。

扩展：

解的性质扩展

解释：
$p$ 个解的任意组合，系数之和为 $0$ 时，是齐次线性方程组的解；
非齐次的解线性组合也能得到齐次线性方程组的解，但需要满足 $k_1+k_2+\cdots+k_p=0$ ，例如 $\alpha_1-\alpha_2\ (1-1=0)$ 就是齐次线性方程组的解；
非齐次的解线性组合也能得到非齐次线性方程组的解，但需要满足 $k_1+k_2+\cdots+k_p=1$ ，例如 $\dfrac{\alpha_1+\alpha_2}{2}$ 就是非齐次线性方程组的一个解；
齐次线性方程组的解与非齐次线性方程组的解相加，得到的是非齐次线性方程组的解；
$r(A)=r$ ， $A$ 就有 $n-r$ 个线性无关的解，而 $x_1,x_2,\cdots,x_{n-r}$ 刚好是 $Ax=0$ 的 $n-r$ 个线性无关解，所以 $k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_{n-r}x_{n-r}$ 是 $Ax=0$ 的解。

例题：

方程组例题

A. $\alpha_1-\alpha_2$ 的组合系数是 $1-1=0$ ， $\alpha_1-\alpha_2$ 是 $Ax=0$ 的解。
B. $3\alpha_1-2\alpha_2$ 是 $Ax=b$ 的解，C、D 同理。

八. 对比记忆

1.

对比记忆（一）

矩阵的迹： $\operatorname{tr}(A)=$ 矩阵 $A$ 的迹＝对角线元素之和，即

$\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$

2. 秩为1的矩阵

对于秩为 $1$ 的 $n$ 阶矩阵 $A=\alpha\beta^{T}$ （ $\alpha,\beta$ 都是 $n$ 维非零列向量），其特征值为

$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_{n-1}=0,\qquad \lambda_n=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\beta^{T}\alpha=\alpha^{T}\beta$

秩为1的矩阵

3.

对比记忆（三）

例题1：

对比记忆例题1

例题2：

对比记忆例题2

九. 相似与正交

存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ ，则称 $A$ 相似于 $B$ ，记为 $A\sim B$ 。

若 $A\sim B$ ，则
① $|A|=|B|$ ② $r(A)=r(B)$ ③ $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)$ ④ $\lambda_A=\lambda_B$ ，即 $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$ ⑤ $r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$ ⑥ $A,B$ 各阶主子式之和分别相同

相似的性质

也就是说， $A$ 与 $B$ 即使特征值相同，也不一定相似。但是如果 $A,B$ 都是实对称矩阵，那么特征值相同就一定相似（ $A,B$ 都能正交相似于同一个对角矩阵，由相似传递性得 $A\sim B$ ）。

那么怎么判定矩阵相似呢？

① 定义法：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ 。 ② 传递法： $A\sim\Lambda,\ \Lambda\sim B$ ，则 $A\sim B$ ，其中 $\Lambda$ 为对角阵。这就要说到矩阵的相似对角化。

矩阵可相似对角化的条件：

充要条件：
① $n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化 $\Longleftrightarrow$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。 ② $n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化 $\Longleftrightarrow$ $A$ 对应于每个 $k$ 重特征值都有 $k$ 个线性无关的特征向量。
充分条件：
③ $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同特征值 $\Longrightarrow$ $A$ 可相似对角化。 ④ $n$ 阶矩阵为实对称矩阵 $\Longrightarrow$ $A$ 可相似对角化。

对于矩阵相似对角化的步骤：

① 求特征值； ② 求特征向量； ③ 正交化（如果需要的话）、单位化 $\eta_1,\eta_2,\eta_3,\cdots,\eta_n$ ； ④ 令 $Q=[\eta_1,\eta_2,\eta_3,\cdots,\eta_n]$ ，则 $Q$ 为正交矩阵，且 $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$ 。

上面提到了实对称矩阵，实对称矩阵就是组成 $A$ 的元素都是实数（即 $A^{T}=A$ ）。对于实对称矩阵要记住：

实对称矩阵

对于正交，你需要记住：
① $\alpha^{T}\beta=0$ ，则 $\alpha,\beta$ 是正交向量。 ② 若满足 $A^{T}A=E$ ，则 $A$ 是正交矩阵。 ③ $A^{T}A=E\Longleftrightarrow A^{-1}=A^{T}$ 。

例题：

正交例题

不可对角化的矩阵怎么判断相似：

例题：

不可对角化例题

如果 $A$ 与 $B$ 相似，那么：
对于任意实数 $k$ 和整数 $n$ ，有 $(A+kE)^{n}$ 与 $(B+kE)^{n}$ 相似。
对于上面这道题，取 $k=-1,\ n=1$ ，判断哪两个矩阵相似。

矩阵相似还可得出：

① $A\sim B\Longrightarrow A^{k}\sim B^{k},\ f(A)\sim f(B)$ ； ② 若 $A\sim B$ ，且 $A$ 可逆，则 $A^{-1}\sim B^{-1},\ f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$ ； ③ 若 $A\sim B$ ，则 $A^{*}\sim B^{*}$ （ $A,B$ 可逆时）； ④ 若 $A\sim B$ ，则 $A^{T}\sim B^{T}$ 。

相似结论补充

注：

相似之注

十. 合同

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{T}AC=B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 合同，即 $A\cong B$ 。 $A$ 与 $B$ 合同，就是指同一个二次型在可逆线性变换下的两个不同状态的联系。

合同（一）

合同（二）

合同（三）

**注：**由于我们已经规定，对称矩阵才是二次型矩阵，所以二次型矩阵都是对称矩阵，相应的和对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵。

例题：

合同例题（一）

合同例题（二）

合同例题（三）

合同例题（四）

十一. 二次型

关于二次型化标准型或规范型的方法（配方法、正交变换）总结如下：

二次型化标准型

所以我们可以进一步得到等价、合同和相似的关系：

等价、合同、相似的关系

**注：**相似一定合同的前提条件是 $A,B$ 都是实对称矩阵。

相似与合同之注

例题：

二次型例题（一）

二次型例题（二）

关于配方法和正交变换分别给一个例题：

配方法：

配方法例题

正交变换：

正交变换例题（一）

正交变换例题（二）

① 若 $\lambda_1=\lambda_2$ ，那么两个同一特征值对应的特征向量需要正交化；如果本来就正交可以不做这一步，所以在计算特征值的时候，可以将两个特征向量写为正交的，这样就免去了施密特正交化，直接进入单位化即可。 ② $\lambda_1\neq\lambda_2\neq\lambda_3$ ，那么不用进行施密特正交化，直接单位化即可。

常见题型：

二次型常见题型（一）

二次型常见题型（二）

这里记录一个例题：

二次型例题（三）

二次型例题（四）

若二次型中只有混合项，没有平方项，要怎么做？

只有混合项的处理

十二. 二次型正定

二次型正定的充要条件：
$n$ 元二次型 $f=x^{T}Ax$ 正定 $\Longleftrightarrow$ 对任意 $x\neq 0$ ，有 $x^{T}Ax>0$ （定义）。
① $\Longleftrightarrow$ $f$ 的正惯性指数 $p=n$ ； ② $\Longleftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $D$ ，使得 $A=D^{T}D$ ； ③ $\Longleftrightarrow$ $A\cong E$ ，即 $A$ 与 $E$ 合同。
②③④的推导：
④ $\Longleftrightarrow$ $A$ 的特征值 $\lambda_i>0$ ； ⑤ $\Longleftrightarrow$ $A$ 的全部顺序主子式 $>0$ 。

二次型正定的必要条件：
① $a_{ii}>0$ ，对角线元素全部大于 $0$ ； ② $|A|>0$ 。

最好是使用充要条件 ①④⑤ 判断二次型是否正定。如果非要用定义法，来看个例题：

正定例题（一）

注意上题，不能直接将 $f$ 判定为正定：

因为将二次型化为标准型的过程一定要做可逆线性变换。

可逆线性变换之注

例题1：

正定例题1（一）

正定例题1（二）

例题2：

正定例题2（一）

正定例题2（二）

正定例题2（三）

正定例题2（四）